Гинзбург В.М. Голография Методы и аппаратура. Страница 196
В работе [21] сообщается об аналогичном методе восстановления функции по интегралам от нее. Задача также сводится к нахождению решения неопределенной системы алгебраических уравнений, удовлетворяющего условиям (7.21) и (7.22). Однако алгоритм решения [22] иной. Кроме того, отличается вид аппроксимации f (х, у):
где f (1т, In) — значения функции / (х, у) в точках х = 1т, у = In и sine х — sin ях/лх. В соответствии с теоремой отсчетов такое представление будет точным, если функция имеет ограниченный спектр и интервал выборки I задан соответствующим образом [23].
В этом случае для интеграла f (х, у) вдоль г-го луча можно написать выражение
Полученные соотношения нетрудно обобщить на случаи неравных интервалов разбиения по осям х и у. Таким образом, при такой аппроксимации функции подготовка исходной матрицы системы уравнений сводится к вычислению величин Wi {т, п). В работе [21] этим методом была восстановлена функция
в единичном квадрате при = р.;, = 0,29, ох = оу = 0,29. Решалась система 102 уравнений с 36 неизвестными. Интервалы разбиения были одинаковы по обеим осям. Наибольшее нормализованное отклонение величины /' от точного значения функции в заданной точке оказалось равным 7,3%, средняя абсолютная величина ошибки по всему распределению составляла 1,7%.
Методом псевдообратной матрицы было получено приближенное решение системы 50 уравнений с 36 неизвестными, коэффициенты в которой соответствовали представлению функции (7.25). Область определения функции и линии интегрирования были те же, что в случае рис. 7.3. Функция задавалась в узловых точках представления (7.25) и соответствовала распределению An, полученному методом Шар- дина в пламени. При точном задании правых частей системы (это делалось умножением матрицы на вектор, компоненты которого равнялись значениям функции в узловых точках) функция восстанавливалась точно. Однако решение оказалось неустойчивым к искажениям правых частей. Устойчивость решения имеет большое значение. Именно эта проблема при алгебраизации подобных задач может создать большие трудности. Устойчивость системы зависит от характера матрицы, которая для рассматриваемых аппроксимаций функции имеет существенно различный вид.
